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Hasta ahora hemos descrito respuestas como las del movimiento armónico simple que se describen por funciones armónicas (senos o cosenos) puras. Pero no todas las funciones periódicas son tan sencillas, a veces son tremendamente complejas. ¿Nos habremos equivocado insistiendo tanto en funciones armónicas puras? Realmente no. Estas funciones son algo así como los ladrillos básicos en términos de los cuales podremos reconstruir CUALQUIER función periódica. A veces necesitaremos muchas funciones armónicas para reconstruir una función periódica complicada, pero siempre es posible hacerlo. Esta posibilidad viene garantizada por el denominado teorema (matemático) de Fourier, de un interés enorme en Física, Matemáticas y en muchos otros campos. Reinicio.
Consideremos una función de la posición (posición dada en metros) de tipo diente de sierra. Esta función es periódica con periodo
L= 1 m (aunque por sencillez sólo se muestran dos periodos). En esta animación hemos seleccionado una función de la posición, pero no se altera nada si la función lo es del tiempo.
Seleccione "Serie de Fourier del diente de sierra". La función en gris es el diente de sierra real, mientras que la función en rojo oscuro es la aproximación total obtenida de la descomposición (serie) de Fourier (si no ha
cambiado n, la aproximación muestra sólo el término n=1). Cambie
n, el número de funciones seno que serán sumados apropiadamente para aproximar al diente de sierra y observe como cambia el gráfico en rojo. La función sinusoidal en verde es el último término de la serie que se añade a la suma de los anteriores para dar la aproximación total con el número de términos seleccionados. Puede probarlo con hasta un máximo de 35 términos. Observe un aspecto interesante, denominado fenómeno de Gibbs: En el punto donde está el quiebro en la función diente de sierra siempre hay una sobre-elongación.
Ahora observe la función onda cuadrada. Se encuentra que para n= 2, 4, 6, ...
los términos correspondientes no añaden nada a la suma total. Verifíquelo para
n= 35. Esto es debido a la simetría de la onda cuadrada (función impar de
x).
Cuando obtenga un gráfico que le guste, pinche encima pulsando el botón derecho y reescálelo para
observarlo mejor.