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En 1610 Galileo descubrió las cuatro lunas de Júpiter. Cada luna parecía moverse para delante y para detrás en lo que llamaríamos un movimiento armónico. Lo que realmente estaba viendo Galileo era un movimiento circular descrito por cada luna, pero lo estaba observando de perfil. Podemos utilizar lo que Galileo experimentaba para describir algunas propiedades del movimiento armónico simple utilizando un paralelismo con el movimiento circular uniforme. Considere la siguiente animación (posición en metros y tiempo en segundos). Reinicio.
Miremos primero a la posición como función del tiempo. El punto del círculo marcado en rojo gira siempre con el mismo radio, R. Si miramos a la posición y como función del tiempo, vemos que y = R cos(ωt), y la posición x es x = R sen (ωt). Para saberlo basta con descomponer el radio vector en componentes.
Para la velocidad sabemos que es tangente a la trayectoria de la bola y, como el movimiento es uniforme, su módulo es constante e igual a ωR. Por tanto se obtiene que vy = -ωR sen (ωt) y vx = ωR cos (ωt). Para convencerse puede observar la simulación o derivar directamente la posición respecto al tiempo.
También sabemos que la aceleración tiene módulo constante, v2/R
y que apunta hacia el centro del círculo. Podemos de nuevo descomponer esta aceleración como
ay = -ω2R cos(ωt)
y ax
= -ω2R sen (ωt). Podemos de nuevo comprobarlo derivando la velocidad respecto del tiempo. Destaquemos que debe haber una relación entre la posición y la fuerza, pues se trata de un movimiento armónico simple. Como la fuerza debe ser de tipo recuperadora lineal y como la fuerza es también masa por aceleración, debemos tener que
ma = - k x,
o que a(t) = - (k/m) x(t) = - ω2 x(t), tal como resulta de comparar nuestras funciones
y(t) y x(t) con ay(t) y ax(t).
Para movimiento armónico simple cambiamos dos cosas, R por A, la amplitud del movimiento, y sólo consideramos una dirección, en este ejemplo la dirección
y. Esto conduce a: y = A cos(ωt), v =
-ωA sen(ωt) y a = -ω2A cos(ωt). El movimiento armónico simple requiere una fuerza recuperadora lineal, una posición de equilibrio y un desplazamiento del equilibrio.